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幾何の問題

知っていればそのまんまですが、知らないと驚くと思います。(私は知らなかったので驚きました。ていうか、答えはわかっていますが解き方がわかりません。)

問題

\(t>0\) とし、点 \(P\) の座標を \((t,\dfrac{1}{2t})\) とします。

2点 \(A,B\) の座標をそれぞれ \((1,1),(-1,-1)\) とします。

このとき、 \(BP-AP\) を求めてください。

(\(BP\)は点\(B\)と点\(P\)との距離、\(AP\)は点\(A\)と点\(P\)との距離。その差を求めてください。)

解説

そうなのです!最初に「知っていればそのまんま」と書きましたが、「逆数のグラフが双曲線であることを」知っていれば、ということです。いや、ちっとも知りませんでした。

なるほど! \(\sqrt{b}-\sqrt{a}\) の形なので、有理化の要領で \(\sqrt{b}+\sqrt{a}\) を掛けたりしてみましたが、複雑化する一方でうまくいきませんでした。まるっと自乗してしまえばいいんですね。素晴らしいです。

解答

\[\begin{align}BP-AP &= \sqrt{(t-1)^2+(\dfrac{1}{2t}-1)^2}-\sqrt{(t+1)^2+(\dfrac{1}{2t}+1)^2} \\ (BP-AP)^2 &= \left(\sqrt{(t-1)^2+(\dfrac{1}{2t}-1)^2}-\sqrt{(t+1)^2+(\dfrac{1}{2t}+1)^2}\right)^2 \\ &= (t-1)^2+(\dfrac{1}{2t}-1)^2 + (t+1)^2+(\dfrac{1}{2t}+1)^2 \\ & \quad - 2\sqrt{\left((t-1)^2+(\dfrac{1}{2t}-1)^2\right)\left((t+1)^2+(\dfrac{1}{2t}+1)^2\right)} \\ &= (t-1)^2+(\dfrac{1}{2t}-1)^2 + (t+1)^2+(\dfrac{1}{2t}+1)^2 \\ & \quad - 2\left(t^2+(\dfrac{1}{2t})^2\right) \\ &= 4 \end{align}\]

よって \( |BP-AP| = 2 \) 。

\(t > 0 \) より \( BP-AP > 0 \) なので \( BP-AP = 2 \) 。

…ということのようです。合ってるかな?